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동전을 던져 앞면이 나오면 1만원을 따고, 뒷면이 나오면 1만원을 잃는 게임을 해보지 않겠소?
여러분이 1만원을 가지고 이 사람이 제안한 게임에 참여한다면, 한 차례의 게임에서 여러분이 기대할 수 있는 돈은 0 입니다. 왜냐하면 기대값이 (1만원) * (1/2) + (-1만원) * (1/2) = 0 ... 이기 때문이죠.
만약 동전 던지기 게임을 1000 번 시행한다면 여러분 수중에 얼마의 돈이 남게 될까요? 게임을 한번 할 때의 기대값이 0 이니까, 1000 번 시행한 후의 기대값도 0 일까요? 매번 동전을 던지는 게임은 서로 '독립적이고 배타적'이므로('베르누이 시행'이라고 부름), 1000 번 던지고 난 뒤의 기대값 역시 0 이라고 생각하기 쉽습니다.
또한 동전을 1000 번쯤 던지면 앞면이 나온 횟수와 뒷면이 나온 횟수가 대략 500 : 500 이 될 것이기 때문에 1000회가 다 끝나면 주머니가 텅 빌 거라 생각할지도 모르겠네요. 그러나 실제로 실험을 해보면, 생각과는 다른 결과를 얻습니다.
실험을 위해 Excel의 Randbetween() 함수를 통해 동전 던지기 게임을 시뮬레이션해 봤습니다. 그랬더니, 많은 돈을 따는 경우, 잃다가 따는 경우, 계속해서 잃는 바람에 파산에 이르는 경우 등 다양한 패턴이 나왔습니다. 아래의 Excel 파일을 다운로드 받으면, 아래의 그림들과 똑같지는 않지만 비슷한 모습의 그래프를 얻을 수 있습니다.(빈 셀에 가서 Del 키를 누르면, 그래프가 리프레쉬됩니다.)
랜덤워크.xls
첫번째 그림은 대략 300 ~ 400회까지 50~60만원까지 재산이 불어나다가 그 이후에는 계속 잃기 시작해서 700회가 넘어가면 빈털털이가 되는 패턴입니다. 여러분이 700회까지 온 상황이라면 '60만원일 때 게임을 그만 둘 걸'이라고 후회하겠지요.
두번째 그림은 아주 운이 좋은 사람의 그래프입니다. 등락이 있긴 하지만, 전체적으로 재산이 증가해서 60만원 선까지 이르는 경우입니다. 모든 사람이 꿈꾸는 그래프죠.
세번째 그림은 대단히 운이 없는 사람의 그래프입니다. 초기의 몇 번을 제외하고는 마이너스입니다. 아마 이 사람은 게임을 계속 진행하기 위해 다른 사람에게서 빚을 끌어다 썼을 겁니다. 이런 계좌를 주식에서는 깡통계좌라 부르나요?
이 그림은 800회까지는 0 주변을 왔다 갔다하는 수익을 보이다가 900회가 되면 40만원 선까지 재산이 증가하는 '대기만성'형 그래프입니다. 1000 회까지 기다린 보람이 있군요.
마지막 그림은 오르막과 내리막을 걷다가 1000 회에 이르면 30만원 선까지 재산이 느는 모양이군요. -20만원까지 떨어졌을 때 게임을 중단하지 않고 이어 간 보람이 있습니다.
1000 번의 게임을 한 후에 주머니에 남는 돈이 '0' 이 되는 경우가 흔하지 않는 이유는 동전의 앞면과 뒷면이 골고루 나오지 않고 앞면이나 뒷면이 연속해서 나오는 현상 때문입니다. 계속해서 돈을 따거나, 반대로 계속 돈을 잃는 상황이 생각보다 많이 나온다는 것이죠. 이와 같은 클러스터링 효과는 지난 번 글('미네르바의 예측력을 믿어야 할까')에서 밝힌 바 있습니다.
그런데 어디서 이런 모양의 그래프들을 본 적이 없나요? 매일매일 시시각각 변하는 주가의 등락 그래프와 닮았습니다. 위의 그래프들을 각각 개별 회사의 주가 변동이라고 이야기해도 믿을 정도로 비슷합니다. 그렇다면 주가의 움직임은 동전 던지기처럼 무작위(random)하다고 말할 수 있을까요?
이 질문에 Yes라고 대답하는 사람들이 바로 '랜덤 워크(Random Walk) 가설'을 주장하는 자들입니다. 그들은 주가의 등락은 무작위하게 변하고 특별한 원인을 잡아내기가 불가능하다고 말합니다. 랜텀 워크 가설은 '효율적 시장 가설'의 일종인데, 이것과 이론적인 대척점에 있는 '펀더멘탈 투자 이론'에서는 시장 정보나 기업의 실적이 주가를 결정한다고 가정합니다. 또 다른 대척점에 놓인 '기술적 분석 이론'은 주가 등락에 보이지 않는 패턴을 잡아내려고 하지요.
하지만, 랜덤 워크 주장자들은 주가는 동전 던지기와 같은 무작위성에 기반을 둔다고 주장합니다. 어제의 주가와 오늘의 주가는 전혀 관련이 없는 '독립적이고 배타적'이라고 가정합니다. 주가가 도박과 다를 바 없다는 것이죠.
무엇이 실제의 주가 변동을 옳게 설명하는 가설인지 의견이 분분하지만(아마 인류가 멸망하는 날까지 논쟁은 계속되겠지만), 100%는 아니더라도 주가의 랜덤 워크 경향이 어느 정도 존재한다는 말은 틀리지 않아 보입니다. 역사적으로 주식 시장의 폭락을 가져온 대표적 사건들(1987년 블랙 먼데이, 2000년의 닷컴 붕괴, 2007년의 서브 프라임 사태 등)을 떠올려 보십시오.
지나고 나면 특별한 원인과 패턴이 존재하는 것 같지만(그래서 사후에 경제분석가들이 열심히 분석기사를 쏟아내지만), 사전에 그 사건들을 예측하지 못했다는 것은 랜덤 워크 효과를 보여주는 단적인 증거가 아닐까요?
저는 주식 투자를 한번도 해본 적이 없습니다. 그래서 이런 글을 쓸 자격이 없을지는 모르지만, 시장의 불확실성을 어떻게든 이겨내고 예측하려는 노력은 부질 없다는 생각을 평소에 가지고 있습니다. 그래서 차라리 동전을 던져서 주식 투자를 하는 것이 낫다고 믿습니다. 물론 저와 생각이 다른 분들도 있겠죠.
주식의 움직임에 대해 '이렇다'라고 분명히 말하는 자가 있다면 그는 사람이 아니라 신입니다. 우리는 결코 신이 아니니 불확실성을 이겨내려는 오만을 벗고 겸손해져야 합니다. 그것이 동전 던지기 게임이 전하는 단 하나의 메시지가 아닐까요?
(*참고도서 : '지하철과 코코넛', '머니 해킹', '춤추는 술고래의 수학 이야기')
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