생일이 같을 확률은 의외로 크다

오늘 트위터에 글 하나를 올렸는데, 몇몇 분이 그 이유를 궁금해 하셔서 블로그를 통해 상세하게 설명하고자 합니다. 트위터 특성상 긴 글로 설명하는 데 한계가 있기 때문이죠. 

트윗에 올린 문제의(?) 글은 이것이었습니다. 실제 트윗의 내용을 보완했습니다.

"무작위로 뽑은 60명의 사람들 중에서 생일이 같은 사람들이 최소한 1쌍이라도 있을 확률은 얼마일까? 답은 거의 100% 이다"

많은 사람들이 이 문제의 답을 25% 정도 되리라 답합니다. 답이 100%에 가깝다고 이야기하면 놀라거나 말이 안 되는 소리라고 일축하지요. 1년은 365일이고, 60 이란 숫자는 고작 365의 '6분의 1'도 안되니까, 확률이 100%가 나올 리 없다고 생각하기 때문입니다.

아마 아는 분들도 있겠지만, 확률이 거의 100%인 이유를 증명해 보겠습니다. 위의 문제는 "무작위로 뽑은 60명의 생일이 모두 다를 확률은 얼마일까?"란 질문으로 바꿀 수 있습니다. 이 질문의 답을 1에서 빼면 원래 문제의 답을 구할 수 있기 때문입니다.

생일이 모두 다른 사람이 선택되도록 하려면, 이렇게 하면 됩니다. A라는 사람이 한 명 있습니다. A와 생일이 다른 B라는 사람이 선택될 확률은 364/365 입니다. 그리고 A와 B 모두와 생일이 다른 C라는 사람이 선택될 확률은 363/365 입니다. 이렇게 모두 60명의 사람을 모으면 되겠죠. 

확률의 곱셉법칙(사건들이 동시에 일어날 확률은 개별 사건의 확률을 곱하면 된다)에 의하면, 60명 모두 생일이 다를 확률은 아래와 같은 식으로 나타납니다. (1년이 366일인 윤년은 고려하지 않기로 합니다.)

1  *  364/365  *  363/365  *  362/365 *  ......... * 306/365

계산해 보면 나오겠지만, 이 식의 답은 0.0059 입니다. 따라서 원래 문제(60명 중 생일이 같은 사람이 최소한 1쌍 이상 존재)의 확률은 1에서 0.0059를 뺀 0.9941 입니다. 거의 100%에 가까운 값입니다. 많은 사람들이 직감으로 내놓은 25%와는 큰 차이가 납니다.

이 확률 문제에서 우리가 깨달을 시사점은 3가지 입니다. 첫째, 인간의 직감은 확률에 대해 그리 능숙하지 못합니다. 둘째, 그렇기 때문에 확률 문제를 직감으로 접근하면 안 되겠죠. 셋째, 확률에 대한 우리의 약점을 역이용하여 직감 대신에 명철하게 판단한다면 남들과 구별되는, 소위 '엣지(Edge)'를 가질 수 있습니다.

우리를 골탕 먹이긴 하지만, 알면 알수록 확률은 참 재미있고 오묘합니다. ^^

*************************************

이 포스트는 이제 아이폰 App으로도 볼 수 있습니다. 아래의 링크를 눌러서 여러분의 아이폰에 inFuture App을 설치해 보세요. 

여기를 클릭!