혼돈과 나비효과가 지배하는 세상

어떤 동물(토끼나 쥐)들이 한정된 공간에서 서식할 때, 다음 세대의 군집 크기를 어떻게 예측할 수 있을까요? 우리는 보통 다음과 같은 방정식을 써서 다음 세대의 군집 크기를 예상합니다. 여기서 출생률은 1마리의 토끼가 낳은 새끼의 수라고 간주하면 됩니다. 

다음세대의 군집 크기 = 출생률 * 지금세대의 군집 크기

하지만, 위의 '선형(線形) 방정식'은 한정된 공간이 가지는 제약조건인 '자원의 한계'를 반영하지 못합니다. 먹이와 거주 공간의 부족 때문에 다음세대의 군집이 일정하게 늘어나지 않습니다. 군집의 크기가 일정 수준을 넘어서면 먹이와 거주지 경쟁으로 서로 공격하거나 스트레스를 받아서 군집의 크기가 줄어들거나 정체되기 때문입니다.

한정된 공간과 자원을 두고 경쟁하는 동물(혹은 사람)의 군집 크기 변화를 보다 잘 반영하려면, 아래와 같은 '비선형(非線形) 방정식'을 고려해야 합니다.

다음세대 군집 크기 = 출생률 * 지금세대 군집 크기 * (1 - 지금세대 군집 크기)

이 방정식은 현재 군집이 점유한 부분과, 군집이 채우지 않은 부분이 서로 상호작용하여 다음세대의 군집 크기를 결정한다는 의미를 담았습니다. '(1 - 지금세대 군집 크기)'라는 항이 군집이 채우지 않은 부분을 가리킵니다. 예를 들어, 최대 정원이 100명인 버스가 있을 때, 현재 60명이 탑승 중이라면 다음 정류장에서 태울 수 있는 사람의 수는 현 탑승자인 60명과 40명분의 빈 자리의 관계로 결정된다는 뜻입니다.

'채워진 부분'과 '채워지지 않은 부분' 사이의 상호작용은 때론 크게, 때론 작게 나타납니다. 그 결과가 바로 출생률이죠. 세대를 거치면서 출생률은 고정되지 않고 매번 '진동'합니다.

다음세대의 군집 크기가 비선형 방정식을 따르고, 출생률이 진동한다고 가정하면, 흥미로운 그래프를 얻을 수 있습니다. 아래의 그래프가 바로 그것입니다. (대학 다닐 때 이 그래프를 PC로 그리느라 C 언어로 무진 고생했는데, 이제 Excel로 쉽게 그릴 수 있으니 편리한 세상입니다.)

출생률이 2.3에서 약 3.0이 될 때까지는 군집의 크기가 66% 정도로 수렴됩니다. 그러나 3.0을 넘어서면, 군집의 크기는 두 개의 가능성을 가집니다. 예를 들어, 출생률이 3.3일 때, 군집의 크기는 약 45%이거나 80%가 됩니다.

헌데, 출생률이 3.45를 넘어서면 군집의 크기는 4개의 가능성을 갖고, 3.55를 넘으면 8개의 가능성이 드러납니다. 그 이상을 넘어가면, 군집의 크기는 그래프에서 보다시피 무수히 많은 가능성을 가지게 되죠. 그야말로 '혼돈(카오스)'에 빠지는 모습입니다. 출생률이 3.55 이상인 구간에서는 출생률이 아주 미묘하게 변화한다 해도 그 결과가 크게 달라지기 때문에 다음세대의 군집 크기를 예측하기가 불가능합니다.

이 그래프에서 한 가지 재미있는 것은 '자기유사성(Self-similarity)'을 갖는다는 사실입니다. 그래프의 검은 부분(출생률이 3.55 이상인 부분)을 확대하면 수많은 '갈래'들이 나타나는데, 그 모양이 3.0에서 3.55사이의 구간에서 보는 갈래 모양과 같다는 것이죠. 모양을 끊임없이 반복하는 겁니다. 이런 그림을 프랙탈(Fractal)이라고 하죠.

군집 크기에서 나타나는 혼돈(카오스) 현상은 '나비효과'의 개념과 이어집니다. 아마존에서 나비가 펄럭거리면 그것이 멕시코만에 허리케인을 일으킨다는 개념이죠. 기상학자인 로렌쯔가 처음 제시한 현상이죠. 나비효과는 Excel을 써서 여러분도 쉽게 재현할 수 있습니다. 

원래 0.808080 의 질량을 갖는 물체가 있는데, 측정 오차에 의해서 0.808081 로 측정했다고 가정해 보겠습니다. 고작 0.000001 의 오차라서 이 정도는 무시할 수 있겠다 싶지만, 그 측정치가 다시 '시스템' 속에 피드백(되먹임)되면 오차는 폭증합니다.

아래의 그래프는 0.808080 을 두배씩 증가시킨 값에서, 0.808081을 두배씩 증가시킨 값을 뺀 '오차'를 나타냅니다. 30회만 진행했는데도, 오차가 기하급수적으로 증가하는 모습을 나타냅니다. 아마존의 나비가 허리케인을 일으킬 만합니다.

위에서 언급한 '군집크기에서 나타나는 혼돈 현상'과 '오차의 폭증'은 지난 번에 포스팅한 '개인의 미시적 동기가 큰 변화를 일으킨다'와 연결됩니다. 위의 그래프는 미묘한 변화가 걷잡을 수 없는 커다란 결과로 나타남을 수학적인 이미지로 그려낸 것이기 때문입니다.

우리는 지구라는 '닫힌 계' 속에 비선형 방정식의 지배를 받으며 삽니다. 우주여행이 일상화되지 않은 한, 우리가 누릴 수 있는 자원은 한계가 있습니다. 통신수단의 발달로 상호작용이 활발해졌습니다. 그로 인해 작은 오차가 우리의 네트워크 속에 피드백되면 큰 파국(catastrophe)을 발생시킬 가능성이 존재합니다. 우리에게 놓인 불확실성이란 바로 이런 겁니다. 그리고 그 파국의 조짐은 등 뒤에서 우리를 늘 응시하고 있습니다.

위의 그래프는 아래의 Excel 파일에 있습니다. 여러 가지 조건으로 시뮬레이션 해보면 재미있을 겁니다. ^^

카오스 샘플.xls